DETERMINANTES

En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permite obtener un procedimiento relativamente fácil para el cálculo de determinantes, parte de la teoría de determinantes envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán expuestos. Asi que asumiremos sin prueba aquellos resultados que caen dentro de esta categoría. Si alguien desea conocer las pruebas de dichos teoremas pueden ser consultadas en el libro Matemáticas Superiores para Ingenieros 4^a Edición. C RAY WYLIE. Mc. Graw Hill.

EL DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por  (las barras no significan valor absoluto).

DEFINICIÓN 2.1(Determinante de una matriz de orden 1)
Si  es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

Ejemplo 1

DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n)
Sea A una matriz de orden , definimos el menor  asociado al elemento  de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento  de A esta dado por .

Ejemplo 2

DEFINICIÓN 2.3(Determinante de una matriz de orden superior)
Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

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Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Ejemplo 6

REGLA DE SARRUS

Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación

Paso 2 Calcule los productos indicados por las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.
+ + + - - - 

Paso 3 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2

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Ejemplo 7

OBSERVACIÓN
La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3.

TEOREMA 2.1. Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por

	Desarrollo del i-ésimo renglón
o tal vez
	Desarrollo del j-ésima columna

Ejemplo 8

Ejemplo 9

DEFINICIÓN 2.4(Matrices triangulares).

Una matriz de orden n se llama triangular superior si todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros y se denomina triangular inferior si todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Una matriz que es triangular superior e inferior se denomina matriz diagonal. Una matriz diagonal en la cual todas las entradas de la diagonal principal, son iguales se llama matriz escalar.

Matriz triangular superior	Matriz triangular inferior
Matriz diagonal	Matriz escalar

. MÉTODO DE GAUSS

El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas (comentados en el epígrafe 2), para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriztriangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ...,  y la primera todas las incógnitas. El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método. Partimos, inicialmente, de un sistema de  n  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, compatible determinado: En primer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en la primera, la incógnita  x1, obteniéndose un sistema equivalente: En segundo lugar, aplicando nuevamente el método de reducción de forma sucesiva, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las dos primeras, la incógnita  x2, obteniéndose un sistema equivalente: En tercer lugar, aplicando sucesivamente el método de reducción, eliminamos en todas las ecuaciones, excepto en las tres primeras, la incógnita  x3,  y así sucesivamente, hasta obtener el siguiente sistema equivalente: Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación. El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir. Hemos visto como podemos resolver un sistema compatible determinado aplicando el método de Gauss, pero ¿Cómo podemos discutir la compatibilidad o incompatibilidad de cualquier sistema de ecuaciones lineales con éste método? Consideremos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas: Sea  A* la matriz ampliada del sistema con los términos independientes, es decir: Las transformaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes: Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. Sumarle o restarle a una fila otra fila. Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. Cambiar el orden de las filas. Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita  y  y la tercera a la incógnita  z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita  z  y la tercera a la incógnita  y. Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. Eliminar filas nulas  (0  0  0  ...  0).

SUMA,RESTA Y ESCALAR POR UN VECTOR EN DEV C++

se trata de como realizar un programa en lenguaje C que realice la suma la resta la multiplicación y el escalar por un vector , también que le solicite al usuario que ingresa la opción que desea realizar.

ALGEBRA LINEAL EN ELECTRÓNICA

Todos los componentes electronicos se rigen por formulas matematicas, graficas y ecuaciones tanto lineales como exponenciales, y se utilizan derivadas e integrales para resolucion de los circuitos de control que se diseñan en funcion de una ecuacion que es la que rige el sistema a controlar segun sus constantes de tiempo de respuesta por ejemplo

mapa conceptual de álgebra lineal


http://www.slideshare.net/etamayov/mapa-conceptual-algebra-lineal-11928191